Un’infinità di infiniti

Un’infinità di infiniti

Una collana di perle senza fine, questa è la rappresentazione dei numeri interi: una infinità numerabile. Una collana dove per ogni perla ce n’è una precedente e una successiva, e tra due perle ce n’è un numero finito: fra la numero 7 e la numero 13, per esempio, ce ne sono 5. Tuttavia le cose cambiano, e molto, quando si passa ai numeri rappresentabili con le frazioni: i numeri razionali. 8, 9, 10, 11 e 12 sarebbero ora solo alcune delle possibilità! Anche 7,01, 8,5, 13,77732335 sarebbero altre possibilità. Ma quante sarebbero ora, davvero, tutte le possibilità? Tra 7 e 13, troviamo 10. E tra 10 e 13 c’è 11,5. E tra 11,5 e 13 si trova 12,25…

Tra due numeri razionali, esattamente in mezzo, ce n’è sempre uno: la media. In mezzo, in mezzo, in mezzo… Tra due numeri razionali ce ne stanno quindi infiniti e ognuno di essi non ha successivo o precedente. Questo tipo di infinità, in matematichese (neologismo che ho inventato io, vuol dire “in termini matematici”, è tipo “petaloso”), si chiama densa.

La peculiarità che più mi colpisce, però, è che se tra due frazioni ce ne stanno, in mezzo, infinite, ci sono anche infiniti numeri, tra loro, che frazioni non sono. Un esempio è π. Un altro è √2. E numeri di questo tipo ce li possiamo anche inventare: 0,122333444455555666666… è un numero che frazione non è! Ripetendo 1 volta l’1, 2 volte il 2, 3 volte il 3 e così via, otteniamo un numero con infinite cifre decimali ma senza periodo: condizioni che rendono impossibile trovare una frazione che lo rappresenti. Dimenticate quindi la collana di perle infinita! Le infinità dense non sono rappresentabili, bensì solo immaginabili. Diverso è se uniamo insieme i numeri rappresentabili con frazioni con quelli che frazioni non sono: ecco i numeri reali. In questo caso la rappresentazione è semplice e lineare: una linea continua! Quella che si ottiene “senza staccare la penna dal foglio”. Ricordo ancora quando alle elementari mi dissero, per arrivare a disegnare una retta, di fare tanti punti, fitti fitti, sempre più vicini. Niente di più sbagliato! La differenza tra discreto e continuo è incolmabile, dato che il concetto di successivo non può svanire. È lo stesso motivo per cui è sbagliato definire una circonferenza come un poligono con infiniti lati…

Ma la cosa che più mi affascina è un’altra! Immaginate due segmenti di lunghezze visibilmente diverse: quale ha più punti? Tracciando due rette che passano ciascuna per due estremi dei segmenti, si trova un punto di proiezione (P). Collegando questo punto con uno qualsiasi (A) di uno dei due tratti iniziali si arriverà a intersecare sempre anche l’altro (B). Mantenendo fermo P, ogni volta che si sposterà A cambierà necessariamente anche B e viceversa: i due segmenti hanno cioè lo stesso
numero di punti. E dato che il discorso è indipendente dalla lunghezza iniziale, un segmento contiene tanti punti quanti ne contiene una retta. Come in un frattale, nell’infinità continua una parte contiene il tutto.

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Il presente articolo è stato pubblicato sulla rubrica “Fisica? Un gioco.” – Sapere, giugno 2019 – ed. Dedalo.