Se l’esponente è sulla base, la testa non è sul collo

Se l’esponente non è sulla base, la testa non è sul collo

Si narra che l’inventore degli scacchi fosse un matematico, che avesse costruito questo gioco per rispondere a un desiderio del suo sultano e che quest’ultimo fosse rimasto talmente affascinato dal nuovo gioco da promettere allo scienziato qualsiasi cosa volesse. La richiesta fu molto particolare: «Solo un po’ di riso, sua maestà». Più precisamente chiese un chicco sulla prima casella della scacchiera, 2 sulla seconda, 4 sulla terza e così via, raddoppiando ogni volta sino a finire tutte le 64 caselle. Quanti chicchi di riso servirebbero per soddisfare questa strana richiesta? E se piegassimo un foglio di carta su se stesso 40 volte quanto diventerebbe spesso il nostro “origami”? E ancora, se una popolazione di conigli, diciamo 100, aumentasse ogni anno il suo numero del 20%, quanti esemplari conterebbe dopo 5 anni?

Tutte queste domande trovano risposta nello stesso oggetto matematico!

Partiamo dai conigli. Il 20% di 100 è 20, quindi, dopo un anno, gli animali sarebbero 120. Ma 120 si può scrivere come 100 × 1,2… Il 20% di 120 è 24 e quindi, dopo 2 anni, gli esemplari diventerebbero 144. Ma 144 si può scrivere come 120 × 1,2, che è come dire 100 × 1,2 × 1,2 o, se preferite, 100 × 1,2^2 (ricordiamo che quel 2 a destra, dopo il simbolo ^, è chiamato esponente e indica che si deve moltiplicare 2 volte per il numero che sta alla sua sinistra, la base). Per induzione, si ricava velocemente che dopo 5 anni la popolazione di conigli sarebbe pari a 100 × 1,2^5 cioè circa 250 bestioline. Generalizzando, dopo un tempo t i conigli sarebbero 100 × 1,2^t. Converrete, credo, che se il numero di partenza fosse stato 314 e se l’aumento fosse stato solo del 18% la legge ricavata avrebbe la stessa struttura, ovvero 314 × 1,18^t. La cosa peculiare di questa “crescita” è quindi quello che abbiamo chiamato esponente…

Per “l’origami”, assumendo che lo spessore del foglio sia pari a 1 (1 foglio), dopo la prima piega avremmo uno spessore di 2, dopo la seconda di 4, ovvero 2 × 2 cioè 2^2, dopo la terza di 8, ovvero 2 × 2 × 2 cioè 2^3 e così via, sino ad arrivare a uno spessore di 2^40… provate a fare 2 × 2 × 2 … 40 volte! Il numero che si ottiene è 1 099 511 627 776! Immaginando che una risma di 500 fogli sia circa 5 cm otterremmo uno spessore di 100 000 chilometri. Piegandolo ancora due volte arriveremmo sulla Luna! Anche qui potremmo generalizzare lo spessore del nostro foglio dopo n pieghe con la formula (2^n : 500) × 5 cm. E ancora una volta la cosa interessante dal punto di vista matematico risiede nell’esponente.

Per la scacchiera la storia è simile. I chicchi da poggiare sull’ultima casella sarebbero 2^63. Non basterebbero le piantagioni di riso di tutto il mondo per “riempire” anche solo quella casella!

Questa è quella che si definisce, letteralmente, crescita esponenziale. È l’oggetto matematico che cresce più velocemente di tutti e rappresenta i fenomeni fisici più disparati, da quelli qui descritti al comportamento degli isotopi radioattivi. Grazie alle sue caratteristiche è possibile, per esempio, datare i reperti archeologici. Entusiasmanti sono le possibilità della funzione esponenziale! Unica nota dolente, la fine che fece il matematico, inventore degli scacchi. Perché leggenda vuole che il sultano, appassionato oltre che di giochi anche di decapitazioni, una volta capito di essere stato tratto in inganno, non l’abbia presa molto bene…

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Il presente articolo è stato pubblicato sulla rubrica “Fisica? Un gioco.” – Sapere, agosto 2017 – ed. Dedalo.