Infinito più uno

Infinito più uno

Ricordo ancora la sensazione di smarrimento provata quando, da bambino, pensavo all’infinito. Una volta tentai anche di contare fino al numero più grande che riuscivo a immaginare. Mi addormentai prima di desistere, anche senza le proverbiali pecorelle.

L’introduzione assiomatica dei numeri naturali prevede l’esistenza dell’unità, concetto cardine di tutto il sapere matematico, e il fatto che, se un numero è naturale, lo è anche il successivo. Il concetto di “successivo” è insito già nell’ipotesi di esistenza di “1”: basta contare 1 dopo il numero dato! E così, se 1 è naturale, anche il suo successivo (2) lo sarà. E anche il successivo del successivo di 1 (o, se preferite, il successivo di 2, cioè 3) sarà naturale. E così via, “senza fine”. Ecco emergere “naturalmente” la rappresentazione dell’infinità numerabile! Infinite perle, ognuna con successiva e precedente (fatta eccezione per la prima) e con al più un numero finito di perline tra due di esse. Fra 3 e 17 ci sono 13 numeri naturali, non uno di più, non uno di meno.

Qualche tempo fa ho visto due bambini giocare a dire il numero più grande: «101» propone uno, «102» risponde l’altro. «Giochiamo ancora? 1035!», «1036». «1 430 002», «1 430 003»… e su, su, sino a “Infinito”, “Infinito più 1”.

Immaginate un hotel straordinario (come fa in un delizioso racconto, ispirato al paradosso di Hilbert, Stanisław Lem), con infinite stanze e infinitamente pieno. E immaginate che arrivi un nuovo cliente, che non aveva prenotato. Ci sarebbe posto per lui? Ma certamente! Dalla reception mandano una mail a tutti gli ospiti chiedendo cortesemente a ognuno di spostarsi nella stanza successiva: quello della 1 è pregato di traslocare nella 2, quello della 2 nella 3, quello della 137 022 nella 137 023… Ognuno avrebbe quindi una stanza disponibile lasciando al contempo la prima stanza pronta ad accogliere il ritardatario! L’hotel era pieno prima ed è pieno dopo, in medesima misura…

E se arrivasse un’infinità di nuovi clienti? Ci sarebbe posto per loro? Ancora sì! La mail, questa volta, chiede la cortesia all’inquilino della stanza 1 di spostarsi nella 2, a quello della 2 di traslocare nella 4, a quello della 137 022 di andare nella stanza numero 274 044… Ognuno, spostandosi nella “camera di numero doppio della propria”, avrebbe quindi nuovamente una stanza disponibile per sé, ma, al tempo stesso, in questo modo si sarebbero rese libere tutte le camere di numero dispari: un’infinità di stanze pronte ad accogliere gli infiniti ritardatari… Di nuovo, l’hotel era pieno prima ed è pieno dopo, in medesima misura…

Dei due bambini, quindi, nessuno può vincere il gioco, perché “infinito più 1” non è “più grande” di infinito. E infinito non è un numero…

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Aggiunta all’articolo originale

L’idea dell’Hotel Straordinario non è originale, ma a quanto pare pure l’idea della “gara al numero più grande” non è venuta a me per primo (come ingenuamente credevo e come Pietro Buttiglione mi ha fatto gentilmente notare, e lo ringrazio). Già nel 1931 ne scriveva Cesare Zavattini, idea ripresa poi da Gianni Rodari in una bellissima poesia:

C’era una volta un tale

che voleva trovare

il numero più grande del mondo.

Comincia a contaree mai si stanca:

gli viene la barba grigia,

gli viene la barba bianca,

ma lui conta, conta sempre

milioni di milionidi

miliardi di miliardidi

strabilionidi

meraviglionidi

meravigliardi…

In punto di morte scrisse un numero

lungo dalla Terra a Nettuno.

Ma un bimbo gridò: “Più uno!”.

E il grande calcolato

reammise, un poco triste,

che il numero più grande

del mondo non esiste!

Chissà che invece questa non l’abbia letta da bambino e poi dimenticata!? Sapete com’è

“La cultura è ciò che resta nella memoria quando si è dimenticato tutto“ – Burrhus Skinner.

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Il presente articolo è stato pubblicato sulla rubrica “Fisica? Un gioco.” – Sapere, aprile 2019 – ed. Dedalo.